多维度解析头部 AMM：Uniswap V3、Curve V2 与 Balancer V2

根据这个等式，我们就可以由Δ1 推出Δ2 （或反之）。而这笔交易同时也会影响价格，因为池中的代币总量在交易之后改变了。实际上，因为机枪池的交易价格和外部参考市场的价格有差距，所以套利者会不断交易知道价差回归，AMM 正是利用这种机制来矫正池内的交易价格。每次交易的平均价格定义为：

由此可得不变式为：

推导出Δ2 的表达式为：

当 Δ1->0 时，

在新版本 V3 中，由于在不同价格区间的流动性密度不同，需要对每个同一流动性密度的小区间单独计算。当跨过区间边界时，需要的下一个区间做类似计算。

Balancer V2

Balancer 的交易函数定义如下：

推导出Δ2 的表达式为：

其他推导步骤也可类似地拓展到多币的情形，推导步骤在此略过。

Curve V2

Curve 协议的交易函数是恒定和函数和恒定积函数的线性组合：

Figure 1 价格影响曲线

明显的，对于交易相同数量 Δ1 的代币 1，对价格的影响排序如下：Balancer V2 w1=0.6 > Uniswap V3 > Balancer V2 w1=0.4 > Curve V2。

对于 Curve 来说，因为其在一定范围内价格影响最小，所以最适合稳定币的交易对。根据以往 AMM 协议的经验，价格影响曲线的形状往往和流动性提供者的收益相关。距上图所示，因为 Curve 的价格影响曲线最平缓，导致滑点较低，从而使交易者在这个区间中更频繁地（或更大量）交易，最终流动性提供者赚取了更多的交易手续费。

无常损失

Figure 5 流动性分布 Balancer V2

然而，以上都不是实际观察到的 Uniswap V3 池常见流动性分布，常见的分布更类似于以下：

Figure 6 实际观察到的流动性分布 Uniswap V3

交易费用

Table 5 交易费用

Uniswap V3

每个交易对有三个费用梯度的池子供 LP 选择：0.05%，0.3%，1%。直观上看，LP 更偏向于高费用池，但当高费用池的交易活跃度远低于低费用池时，LP 就不得不参与低费用池。交易者更偏向低费用池，但当低费用池的流动性过于稀薄而滑点过高时，交易者就会被迫从高费用池中交易。

根据实际观察，对于稳定币交易对来说，0.05% 费用的池子最活跃。对于其他交易对，当市场波动率高时，高费用池变得更活跃，当波动率低时，低费用池更活跃。

Balancer V2

Balancer 协议收取两种费用：（1）交易手续费，以交易额的一定百分比对交易者收取 （2）出金费用，当 LP 从协议中出金时按提取额度收取

交易手续费可设置为 0.05% 到 1% 之间，由池子创建者设置初始值，并由协议根据多因子来动态调整，因子包括：波动率，交易额，无常损失，流动性总量，流动性挖矿奖励，等等。

出金手续费可由协议设置，但迄今为止未采用。

Curve V2

费用可设置为 0.04% 到 0.4% 之间，可根据目前池内代币比例做动态调整，当前比例距离平衡点越远，费用率越低：

结论

通过多方面的比较，可以看出每个协议都采取的不同的方法来契合 LP 和交易者们的多方面不同需要。

Uniswap V3 给予了 LP 最大的灵活性，几乎所有参数都可以由 LP 自主决定，而团队并没有额外加入更多辅助特性，以保持协议的简单化。而 LP 则需要管理自己的各种风险。

Curve 历史上曾专注于稳定币交易对，此新版本 V2 致力于扩展所涵盖代币的种类。不同于稳定币，非稳定币交易对的市场中价可能会偏移到新的活跃区间，所以此协议可根据内置 Oracle 的喂价调整流动性聚集范围，而无需 LP 自己重部署流动性区间。此种设计对个人投资者更加友好，但限制了开发更复杂的定制化做市策略的可能性。

Balancer V2 在同一流动性池中容纳了多于两种的代币，并且赋予不同的权重，这满足了一部分 LP 差别对待不同种代币风险敞口的需求。通过增加一侧风险波动的方式，来降低另一侧的风险。

引用文献

[1] G. Angeris, A. Evans, T. Chitra; When does the tail wag the dog？ Curvature and market making, 2020.

[2] Hayden Adams, Noah Zinsmeister, Moody Salem, River Keefer, and Dan Robinson. Uniswap v3 Core. (2021).

[3] Michael Egorov, Curve Finance (Swiss Stake GmbH). Automatic market-making with dynamic peg (2021)

[4] Fernando Martinelli, Nikolai Mushegian. Balancer Whitepaper (2019)

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